Parabola
A parabola fogalma
Definíció: A parabola adott egyenestől és egy adott, rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.
Az adott egyenes a parabola vezéregyenese(direktrix) (v), az adott pont a parabola fókuszpontja vagy gyújtópontja (F). A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p>0). A fókuszpontra illeszkedő, a vezéregyenesre merőleges egyenes a parabola szimmetriatengelye, röviden tengelye (t). A parabola tengelyen lehelyezkedő pontja a parabola tengelypontja (T), vagy csúcspontja.A tengelypont felezi a fókuszpont és a vezéregyenes távolságát.
A parabola mint kúpszelet
A parabola a kúpszeletek közé is besorolható. Ennek az az oka, hogy ha veszünk egy forgáskúpfelületet és elmetsszük egy síkkal, akkor a metszet egy parabola is lehet.
Ha a forgáskúpot olyan síkkal metsszük, amely nem megy át a kúp csúcspontján, és:
- a metsző sík merőleges a kúp tengelyére, akkor a síkmetszet kör;
- a metsző sík nem merőleges a kúp tengelyére, de minden alkotót metsz, akkor a síkmetszet ellipszis;
- a metsző sík egy alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet parabola;
- a metsző sík két alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet hiperbola.
A parabola egyenletei
Itt csak az olyan helyzetű parabola egyenletét nézzük meg, amelynek tengelye az y tengely.
További parabolaegyenletek is vannak, hiszen a parabola nem csak így helyezkedhet el a koordináta-rendszerben.
Érdekességként a ferde helyzetű parabola egyenlete:
Láthatjuk tehát, hogy a parabolák egyenletei másodfokú egyenletek. Igaz az az állítás is, hogy valamennyi másodfokú függvény képe egy parabola.
Hol vagy parabola?...
Miért is kell tanulnunk a paraboláról? Hol lesz erre szükség? Tényleg, milyen jelenségeknél fordulnak elő parabolák?
A parabola sok helyen előfordul a fizikában. Galilei megállapította, hogy egy test hajításának pályája parabolikus - állandó gravitációjú térben, ha nem hat a légellenállás. A pálya parabola alakját később Isaac Newton le is vezette a mozgástörvényekből. Kiterjedt test esésekor, például amikor szaltót ugrunk a testünk összetett mozgást végez, de a testünk tömegközéppontja parabolikus pályán mozog. A légellenállás torzítja a pálya alakját, de ez kis sebességeknél elhanyagolható. Nagyobb sebességeknél ez az elhanyagolás nem megengedett, ezért a ballisztikában már ezeket a torzulásokat is figyelembe szokták venni.
Az alábbi ábrán látható, hogyan változtatja meg a mozgás pályáját a közeg.
A folytonos vonallal rajzolt görbék mutatják azt az esetet (különböző sebességeknél), amikor nincs közegellenállás.
Ha a folyadékok vékony csőből ömlenek ki és a légellenállás hatását elhanyagolhatjuk, akkor a sugár alakját megnézve ismét parabolát láthatunk.
A folyadékok kiömlésének alakjáról
Mesterséges holdak vagy az űrhajók adott sebességgel (I. kozmikus sebesség) fellőve a Föld körül körpályán keringenek. Ha a sebességük valamivel nagyobb, de az úgynevezett II. kozmikus sebességnél kisebb, akkor a pálya ellipszis. Ha a sebesség éppen a II. kozmikus sebesség, akkor a pálya parabola, ha annál nagyobb, akkor hiperbola, és a hold vagy űrhajó mindkét esetben távozik a naprendszerből. A Föld elhagyásához szükséges szökési sebesség, más néven a második kozmikus sebesség 11,19 km/s.
A parabola közelítést a függőhidak kábeleinek alakjánál is használják. A szabadon függő láncok egy láncgörbe alakját veszik fel, de a függőhidaknak azok a láncai vagy kábelei, melyek a híd szerkezethez vannak erősítve szabályos közökben, parabola alakot vesznek fel, ahogy azt Galilei állította.
Forgási paraboloidok szintén gyakran előfordulnak a fizikában. A legismertebb példa a parabolikus tükör, mely fényt vagy más elektromágneses sugárzást (például rádióhullámokat, hőt) a fókuszpontba gyűjt. A parabola keresztmetszetű tükör belsejébe érkező, annak tengely-egyenesével párhuzamos fénysugarak a fókuszpontba tükröződnek, így ott összegyűjthető a hő.
A parabolikus tükröt i. e. 3. században Arkhimédész találta fel, aki a legenda szerint parabolikus tükröt szerkesztett, hogy megvédje Siracusa városát a római hajóhad támadása ellen úgy, hogy a nap sugarait a római hajók fedélzetére koncentrálta és így felgyújtotta azokat. A 17. században távcsövek készítésére is használni kezdték, a legnagyobb csillagászati távcsövek ma is tükrös teleszkópok. Ma parabolikus antennákat használnak elterjedten a mikrohullámú és mesterséges holdakkal folytatott távközlésben. A parabola antennaés a fényszórók is hasonló elv alapján működnek, csak itt a fókuszpontból induló sugarakat tükrözi a parabola párhuzamosan a tengelyével, így nagy intenzitású sugár vagy rádióhullám hozható létre.
A forgó folyadék felszíne szintén paraboloid alakot vesz fel. Ez a jelenség az alapja a folyékony tükör teleszkópok működésének.
