A Galilei-féle relativitási elv

Egy test mozgásának leírása általában úgy történik, hogy annak mindenkori helyzetét egy kiválasztott testhez, egy ún. vonatkoztatási testhez viszonyítva adjuk meg. A helyzet meghatározásához általában a vonatkoztatási test egy pontjához rögzített koordinátarendszert veszünk fel, és a test mozgását jellemző adatokat ebben a koordinátarendszerben adjuk meg.

Könnyen belátható, hogy ha ugyanazt a testet két különböző, egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerből figyeljük meg, akkor a mozgását jellemző adatok egy részét (pl. helyzetvektor, sebesség, lendület, energia) eltérőnek találjuk.

A négy ábrán ugyanazt a mozgást láthatjuk. A Földhöz képest nyugalomban levő ember függőlegesen feldobott egy követ. Állapítsa meg, hogy milyen vonatkoztatási rendszerben láthatjuk az alábbi ábrákat?

Felmerül a kérdés, hogy az adatok közötti összefüggéseket megadó fizikai törvények is különbözőek-e a különböző vonatkoztatási rendszerekben.

A törvények érvényességének kérdését egy matematikai analógiával próbáljuk szemlélteni. Az A ábrán egy egyenlőszárú, derékszögű háromszög látható. A vonatkoztatási rendszerünkben felülnézetből ábrázoltuk a szemünket, valamint a P és A pontok között elhelyezkedő háromszöget. Ha a háromszöget elkezdjük forgatni, akkor szemünkkel először a B, majd a C és D ábrát láthatjuk. Hasonló lenne a helyzet akkor is, ha a háromszög nyugalomban lenne és mi forognánk lassan körülötte.A lassan forgó rendszerünkben a háromszög adatai megváltoznának. A Pitagorasz tétel azonban minden (A, B, C, D-elfajult eset) háromszögre igaz lenne. Ez a törvény tehát érvényes lenne a nyugalmi rendszerben is és a mi forgó rendszerünkben is.

Használhatja-e tehát a robogó vonaton utazó megfigyelő ugyanazokat a fizikai törvényeket, amelyeket a Földhöz képest nyugvó laboratóriumban érvényesnek talált. Ez a kérdés mindig foglalkoztatta a fizikusokat. A részletes tárgyalást itt nem tesszük meg, csak azt vázoljuk fel, hogy Galilei hogyan közelített ehhez a problémához. Ez a probléma számára elsősorban azért volt fontos, mert ezzel cáfolta a Föld tengely körüli forgásával szemben a korában hangoztatott "bizonyítékot": a Föld nem foroghat a tengelye körül, mert ekkor egy toronyból leejtett kő nem a torony tövében érne földet.

Arisztotelész elmélete az volt, hogy a Föld nyugalomban van a kozmosz központjában, a Nap, a Hold, a bolygók és a csillagok körülforogják az álló Földet naponta egyszer. Arisztotelész próbálta igazolni elméletét, hogy a Föld mozdulatlan a térben. Ha egy kő egy magas toronyból esik a földre, akkor a leérkezése a torony lábánál figyelhető meg. Ha a Föld mozogna az űrben, akkor a kőnek máshol kellene leérkeznie.

Nicolas Kopernikusz elmélete szerint a Nap van a kozmosz középpontjában, és a Föld, a bolygók mind körülötte forognak. Ez a heliocentrikus koncepció teljesen ellentétes volt Arisztotelész elméletével és a keresztény dogmákkal. 1632-ben Galilei Párbeszédek a két nagy világrendről című művében támogatta a kopernikuszi elméletet. Könyvében, Galilei azzal érvelt, hogy a függőlegesen eső tárgy nem indokolja azt a következtetést, hogy a Föld mozdulatlan. Megfogalmazott egy példát is ennek szemléltetésére. Álljon egy hajó a kikötőben, az árboc tetejéről ejtsünk le egy követ! Függetlenül attól, hogy a hajó nyugalomban van, vagy állandó sebességgel mozog, a szikla mindig az árboc lábánál ér földet. Így, ha a leérkezési pontot figyeljük meg a hajón, nem tudunk belőle következtetni a hajó mozgásállapotára. A fenti gondolat-kísérlet alapján Galilei azt állította, hogy a kő ütközési pontja a torony tövében nem igazolja a Föld nyugalmi helyzetét, vagy mozgását.

Az A ábrán a hajó nyugalomban van a kikötőben. A stégen álló megfigyelő az árbóc tetejéről leejtett követ az árbócrúd tövében látja leesni. A B ábrán a megfigyelő a hajóval együtt halad, egyenes vonalú, egyenletes mozgást végeznek. A megfigyelő a követ ugyanott látja leérkezni. A C ábrán a hajó halad egyenes vonalban, egyenletesen, a megfigyelő pedig a partról nézi a jelenséget. A követ így is a hajónak ugyanazon a pontján látja leérkezni, tehát a leérkezés helye alapján nem tudjuk eldönteni, hogy a hajó mozog-e.

A fenti gondolat-kísérlet alapján Galilei azt állította, hogy a kő ütközési pontja a torony tövében nem igazolja a Föld nyugalmi helyzetét, vagy mozgását. Ma már tudjuk, hogy Galilei gondolatmenete a toronyra vonatkozóan nem egészen helyes, hiszen forgó rendszerben az inercia erőket is figyelembe kell venni, amelyek valóban kismértékben eltérítik pályájukon az eső testeket.
Azzal is érvelt, hogy az illúzió, hogy állunk a Földön nem jelenti azt, hogy a Föld nem mozog. Megfogalmazott egy másik gondolatkísérletet is.

Ha egy megfigyelő egy nagy hajó zárt, ablaktalan kabinjában van, nem tudja megmondani, hogy a hajó áll-e a kikötőben, vagy egyenes vonalú mozgást végez, egyenletes sebességgel. Hiába figyeli meg a tárgyakat a kabinjában, vagy hiába végez bármilyen kísérletet.

"Zárkózzál be egy barátod társaságában egy nagy hajófedélzete alatt egy meglehetősen nagy terembe. Vigyél oda szúnyogokat, lepkéket és egyéb röpködő állatokat, gondoskodjál egy apróhalakkal telt vizes edényről is, azon kívül akassz fel egy kis vödröt, melyből a víz egy alája helyezett szűk nyakú edénybe csöpög. Most figyeld meg gondosan, hogy a repülőállatok milyen sebességgel röpködnek a szobában minden irányba, míg a hajóáll. Meglátod azt is, hogy a halak egyformán úszkálnak minden irányban, a lehulló vízcseppek mind a vödör alatt állóedénybe esnek. Ha társad felé hajítasz egy tárgyat, mind az egyik, mind a másik irányba egyforma erővel kell hajítanod, feltéve, hogy azonos távolságról van szó. Ha, mint mondani szokás, páros lábbal ugrasz, minden irányba ugyanolyan messzire jutsz. Jól vigyázz, hogy mindezt gondosan megfigyeld, nehogy bármi kétely támadhasson abban, hogy az állóhajón mindez így történik.

Most mozogjon a hajótetszés szerinti sebességgel: azt fogod tapasztalni - ha a mozgás egyenletes és nem ide-oda ingadozó-, hogy az említett jelenségekben semmiféle változás nem következik be. Azoknak egyikéből sem tudsz arra következtetni, hogy mozog-e a hajó, vagy sem. ……." (Galilei: Párbeszédek)

Miért van ez? Mivel minden megfigyelő és minden más tárgy részt vesz a Föld és a hajó mozgási állapotában is, pontosan ugyanazt tapasztalja érzékszerveivel, mintha nyugalomban lenne. A mechanikai jelenségek szempontjából nem számít a távolság (vt), amit a hajó megtett a kikötőtől, sem a sebességének a nagysága (v). Az egyetlen dolog, ami számít az volt, hogy a hajó sebessége egyenes vonalú, egyenletes volt. Erre az érzékszervi ekvivalenciára (relativitás), amely minden egyenes vonalú egyenletes földi mozgás esetén megjelenik, néha úgy hivatkoznak, hogy Galilei relativitási elve.

A különböző inerciarendszerekből nézve a mechanikai jelenségek ugyanúgy zajlanak le, és a különböző rendszerekben a mechanika törvényei azonos matematikai alakban érvényesek (természetesen csak akkor, ha adott rendszerben alkalmazva a törvényeket a bennük szereplő összes fizikai mennyiség helyébe ugyanabban a rendszerben mért adatokat helyettesítünk be). Ez a tapasztalatok alapján elfogadott alaptétel a klasszikus mechanika relativitási elve. A relativitás elvének fontos következménye, hogy az inerciarendszerek a mechanikai folyamatok leírása szempontjából egyenértékűek, vagyis mechanikai kísérletek segítségével nem lehet köztük különbséget tenni, így valamiféle "abszolút", kitüntetett inerciarendszert sem lehet találni.
Ötvenöt évvel később Newton is elfogadta a relativitás elvét. Ezt írta 1687-ben Principiában:

"A testek mozgása egy adott térben azonos egymással, függetlenül attól, hogy a tér nyugalomban van, vagy mozog egyenletesen, egyenes vonalban... Ennek világos bizonyítékát mutatta a hajós kísérlet, ahol valamennyi mozgások azonos módon játszódik le, függetlenül attól, hogy a hajó nyugalomban van, vagy egyenletesen, egyenes vonalban halad előre."

Galilei tapasztalati alapon nyugvó megállapításait csak jóval később 1885-ben öntötte a ma ismert matematikai formába Ludvig Lange német filozófus, fizikus. Ő írta fel Galilei megállapításai alapján a ma Galilei-transzformációnak nevezett egyenleteket. 

Vizsgáljunk két inerciarendszert. A kettő közül az egyiket (bármelyiket) tekinthetjük állónak és a másikat ehhez képest mozgónak. Az állónak tekintett rendszert K-val, mozgónak tekintett rendszert K'-vel szoktuk jelölni. Ezek után azt vizsgáljuk, hogy ugyanazt a mechanikai jelenséget milyennek észleli K -ban illetve K' -ben lévő megfigyelő. Ezeket gyakran "álló megfigyelőnek" illetve "mozgó megfigyelőnek" hívjuk. Mármost azt várjuk, hogy bizonyos mért adatok (pl. a hely, a sebesség) a két inerciarendszerben ugyan mások lesznek, de ezek egymásba átszámolhatók. Ezt az átszámolási technikát nevezzük Galilei-féle transzformációnak.

K-ban a koordinátákat és az időt x, y, z-vel és t-vel, K'-ben x', y', z' -vel és t'-vel jelöljük. Mivel a fizikai eredmény nem függ sem a koordinátarendszer konkrét helyzetétől, sem az időszámítás kezdetétől, ezeket úgy válaszjuk meg, hogy:

1. a megfelelő koordinátatengelyek egymással párhuzamosak,
2. az x és x'  tengelyek abba az irányba mutatnak, amit a két rendszer egymáshoz képesti (egyenletes, v nagyságú) sebessége kitüntet,
3. a t=t'=0 időpillanatban a koordinátarendszerek origója ( O és O' ) egybeesik.

Tehát a sebesség nem, de a gyorsulás mindkét rendszerben ugyannak adódik. Ha a pont m és m' tömege és a rá ható F és F' erő mindkét rendszerből mérve ugyanaz, akkor a Newton-féle mozgásegyenlet mindkét rendszerben ugyanolyan alakú lesz. 

Minthogy a mechanika törvényei lényegében a kölcsönhatás törvényéből és a dinamika alapegyenletéből származtathatók, általánosan kijelenthető, hogy a Galilei-transzformáció a mechanika törvényeit változatlanul hagyja egyik inerciarendszerből a másikba történő transzformáció során. Másként fogalmazva ez azt jelenti, hogy a Galilei-transzformáció a klasszikus mechanikában összhangban van a relativitás elvével.  

Később bebizonyosodott, hogy a transzformáció az elektromágnességtan törvényeit azonban nem viszi át változatlan alakban egyik inerciarendszerből a másikba. A fent megfogalmazott elvek Galilei korától egészen az 1900-as évek legelejéig örök érvényűnek tűntek, csak néhány apró jel mutatott arra, hogy a newtoni mechanika nem minden sebességnél érvényes. Ezek megmagyarázására megkezdődött a klasszikus elmélet "toldása-foldása" – sikertelenül. Kellett valaki, aki új alapokra merte helyezni a mechanikát. Ez Albert Einstein volt, aki el merte vetni az évszázadok alatt megszokottá vált elveket, és helyettük – a felmerülő problémákra jó választ adó – forradalmian újakat vezetett be. Az új elmélet előnyei azonban nem látszottak azonnal, és sok helyen paradoxonokat vetve föl, ellentmondani látszottak a hétköznapi gondolkodásnak. A belőlük származó következtetéseket azonban mára már a kísérletek igazolták, így napjainkban a speciális és általános relativitáselmélet a modern fizika egyik alappillére lett.

A klasszikus mechanika megalapozása és a múlt század vége között eltelt mintegy 200 év alatt sok tapasztalat gyűlt össze arra nézve, hogy zárt rendszerben a rendszer mozgására vonatkozóan nemcsak mechanikai, hanem másfajta kísérletekkel sem nyerhetünk információt. Ily módon kialakult egy újabb megfogalmazás, amelyet a Galilei-féle relativitási elvtől való megkülönböztetésül általános relativitási elvnek nevezünk, mely szerint az inercia rendszerek a fizika számára egyenértékűek.